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点(x,y)を原点を中心にθ回転する式があります。移った点を(X,Y)とおくと
X=xcosθ−ysinθ
Y=xsinθ+ycosθ
30°はπ/6ですから近似値で
θ=3.14/6を代入する。
50°ならば5π/18です。

それでは
ハイポサイクロイドの
(x,y)=( f(t) , g(t) )の図をθ回転するにはどうしたら良いでしょうか?
ハイポサイクロイド<24>何°でも回転可能_b0368745_20074249.png

ハイポサイクロイド<24>何°でも回転可能_b0368745_20074217.png
θ回転した式は点の回転と同じで次の式である。
X=f(t)cosθ − g(t)sinθ
Y=f(t)sinθ + g(t)cosθ

原点を中心に回転するならどんな角でも回転出来る。この式を使えば、元の図形は
(x,y)=( f(t) , g(t) )の式さえあれば
ハイポサイクロイドでなくとも回転した式が出来る。



# by smile-a-welcome | 2021-06-16 19:51 | 数学 | Comments(0)

算数o<111-2>掛け算(解答)_b0368745_11065131.png
(解説) ABCDEの5桁の数を固まりで考えます。右辺のABCDEは1000個分あります。
ABCDE✕1008=□00000□□□ までいけば、後は計算するしかないです。大雑把に調べてから最後は正しいか確認します。そのためにABCDEの範囲を意識します。□00000□□□ の桁数も意識します。
ABCDEが99207より小さくなると1番上の位の□の1が0になっていくので不適です。解答では、正解は他にはないことに触れるべきでした。






# by smile-a-welcome | 2021-06-11 07:24 | 数学 | Comments(0)

 問題の画像から山の数を調べると問題2と同じで10ある。軌跡から2円の回転数を調べることにより,半径の比は問題2と同じで10:3である。
 下図で内側の円の中心をオレンジR,内側の円板の上にあって最初(10,0)から始まる点を赤Pとする。同様に(5.7,0)から始まる軌跡の点を黄Zとする。Z,R,Pは内側の円に固定された点で,内側の円の回転と共に移動する。
Z,R,Pは常に1直線上にある。
点Pは問題2の軌跡の点である。
ベクトルRZ=−1.3/3(ベクトルRP)
ハイポサイクロイド<23> 問題3解_b0368745_19065374.png
下図より
ベクトルOZ=OR+RZ
ベクトルOR=(7cosθ,7sinθ)
ベクトルRZ
=(1.3cos(π−7θ/3),1.3sin(π−7θ/3))
Zの軌跡は次の通りです。
x=7cosθ+1.3cos(π−7θ/3)
y=7sinθ+1.3sin(π−7θ/3)
ハイポサイクロイド<23> 問題3解_b0368745_18430346.png


# by smile-a-welcome | 2021-06-09 18:42 | 数学 | Comments(0)

 軌跡が下図の赤い弧を動くとき、点Pは(10,0)から再び外側の円周上にくる。外側の弧に対して内側の円が10回転すると軌跡の点はスタート地点に戻る。それまでに外側の円を3周する。
よって半径の比は10:3である。
ハイポサイクロイド<22> 問題2解_b0368745_12161649.png
 下図で赤の点が軌跡の点Pである。
内側の円の中心がR,2円の接点をQとする。
動径OQとX軸の正の向きとのなす角をθとする。
ピンクの弧の長さは10θ
内側の円の半径は3であるから
内側の円のピンクの弧に対する中心角は10θ/3
x軸の正の向きとのなす角は
θ−10θ/3=−7θ/3
式は次の通りである。
x=7cosθ+3cos(−7θ/3)
y=7sinθ+3sin(−7θ/3)
ハイポサイクロイド<22> 問題2解_b0368745_12302521.png


# by smile-a-welcome | 2021-06-09 12:08 | 数学 | Comments(0)

 下図より式を求める方法を説明します。
外側の円の半径は4です。
内側の円の軌跡の点をPとする。
点Pは(4,0)を出発して反時計回りに動く。
赤い点は点Pが外側の円と接触するときです。
図より分かることは、外側の円を一周回るまでに内側の円は4回転します。 
半径の比は4:1です。
よって内側の円の半径は1です。
ハイポサイクロイド<21> 問題1解_b0368745_09372666.png
 下図で赤い点が軌跡の点Pです。
内側の円の中心がR,接点はQです。
動径ORのX軸の正の向きとのなす角をθとする。
ベクトルOP=OR+RPで式を求める。
図でピンクの弧の長さは4θ
RQのX軸とのなす角θから4θ戻せば−3θ
x=3cosθ+cos(−3θ)
y=3sinθ+sin(−3θ)
ハイポサイクロイド<21> 問題1解_b0368745_10135202.png
三角関数の3倍角の公式を利用すれば
次の式になります。
x=4(cosθ)^3
y=4(sinθ)^3

# by smile-a-welcome | 2021-06-09 09:35 | 数学 | Comments(0)