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アステロイド曲線Ⅲ<星芒形>

アステロイド曲線Ⅲ<星芒形>_b0368745_20145815.jpg

x=cos^3(θ),y=sin^3(θ)のグラフ
(1)曲線に囲まれた図形の面積を求めよ。
(2)囲まれた図形がy軸で回転したときの体積を求めよ。
(3)囲まれた図形が直線x=1を軸に回転したときの体積を求めよ。
<解説>(2)回転体の体積をVとします。
y>0 の部分の体積を2倍します。
V=2π∫〔0~1〕x^2 dy
y=sin^3(θ)
∴dy=3 sin^2(θ) cos(θ) dθ
θ: 0→π/2
V=2π∫〔0~π/2〕cos^6(θ){3sin^2(θ) cos(θ)}dθ
=6π∫〔0~π/2〕cos^7(θ) sin^2(θ) dθ
=6π∫〔0~π/2〕cos^7(θ) {1-cos^2(θ)} dθ
=6π∫〔0~π/2〕{cos^7(θ) -cos^9(θ)} dθ
0~π/2 のときsinとcosは全体として同じ値を取りますからcos^7(θ) の定積分も sin^7(θ)の定積分も同じ値になります。
θ=π/2 - t とおき証明します。
dθ= - dt
t : π/2→0
∫〔0~π/2〕cos^n(θ) dθ
=∫〔π/2~0〕cos^n(π/2 -t) (-dt)
=∫〔0~π/2〕sin^n(t) dt
∴V=6π{(J7)-(J9)} <Jnの説明は下に >
=6π{(J7)- 8/9(J7)}
=6π・1/9(J7)=2π/3・6/7(J5)
=2π/3・6/7・4/5(J3)
=2π/3・6/7・4/5・2/3 (J1)
( J1)=∫〔0~π/2〕sin(θ) dθ
=[-cosθ]〔0~π/2〕=1
∴V=32π/105
アステロイド曲線Ⅲ<星芒形>_b0368745_22292494.jpg




by smile-a-welcome | 2016-06-28 21:06 | 数学 | Comments(0)