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アステロイド曲線Ⅳ<星芒形>

アステロイド曲線Ⅳ<星芒形>_b0368745_00214766.jpg

x=cos^3(θ),y=sin^3(θ)のグラフ
(1)曲線に囲まれた図形の面積を求めよ。
(2)囲まれた図形がy軸で回転したときの回転体の体積を求めよ。
(3)囲まれた図形が直線x=1を軸に回転したときの回転体の体積を求めよ。
<解説>(3) y>0の体積を2倍する。
直線x=1から見て外側(第2象限)まで詰まっているとして内側(第1象限)をくり貫く。
y>0,外側の回転体の体積を(W1)
y: 0→1のとき θ: π→π/2
y<0,内側の回転体の体積を(W2)とする。
y: 0→1のとき θ: 0→π/2
y=sin^3(θ)
∴dy=3 sin^2(θ) cos(θ) dθ
(W1)=π∫〔0~1〕(1- x )^2 dy ( ∵半径|1-x|
=π∫〔π~π/2 〕{ 1- cos^3(θ) }^2 {3 sin^2(θ) cos(θ)} dθ
θ=t +π/2 とおく dθ= d t
t : π/2→0
(W1)=3π∫〔π/2~0 〕{ 1- cos^3 (t +π/2 ) }^2{ sin^2( t +π/2 ) cos( t +π/2 ) d t
=3π∫〔π/2~0 〕{ 1-{ - sin ( t ) } ^3}^2 cos^2( t ){ - sin( t )} d t
= 3π∫〔0 ~π/2 〕sin(t){ 1- sin^2( t ) }
{ 1+ sin^3 ( t ) }^2 d t
= 3π∫〔0 ~π/2 〕sin(θ) { 1- sin^2 (θ) }
{ 1+ sin^3 ( θ ) }^2 dθ (∵文字を替えた
同様に
(W2)=π∫〔0~1〕( 1-x )^2 dy
=π∫〔 0~π/2 〕{ 1- cos^3(θ) }^2 {3 sin^2(θ) cos(θ)} dθ
=3π∫〔0~π/2 〕cosθ { 1- cos^2(θ)} { 1-cos^3(θ) }^2 dθ
0~π/2 より cosをsinにしても値は変わらない。
(W2)=3π∫〔0~π/2 〕sinθ{ 1- sin^2(θ)}
{ 1- sin^3(θ) }^2 dθ
(W1)-(W2)= 3π∫〔0 ~π/2 〕sin(θ){ 1- sin^2( θ ) }[{ 1+ sin^3 ( θ ) }^2 -
{ 1- sin^3(θ) }^2 ] dθ
=3π∫〔0 ~π/2 〕sin(θ){ 1- sin^2( θ ) } { 4sin^3 (θ) } dθ
=12π∫〔0 ~π/2 〕sin^4(θ){ 1- sin^2( θ ) } dθ
=12π∫〔0 ~π/2 〕{ sin^4 (θ) - sin^6 (θ) } dθ
=12π{(J4)-(J6)}
=12π・π/32=(3π^2)/8 (∵(1)
求める体積は
(3π^2)/4


by smile-a-welcome | 2016-06-29 00:20 | 数学 | Comments(0)