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2016東大<理2文2>巴戦

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「A,B,Cのチームで以下のルールの試合を行い、2連勝したチームが出た時点でそのチームを優勝チームとして大会は終了する。
(a) 1試合目でAとBが対戦する
(b) 2試合目で、1試合目の勝者と、一試合目で待機していたCが対戦する
(c) k試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。
なお、すべての対戦においてそれぞれのチームが勝つ確率は1/2で、引き分けはないものとする。
(1) ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(3) mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。」

<解説>
(1) ACBAAの (1/2)^5=1/32
最初にBが勝つのはBCAA,BCABCAA,…で不適です。
(2) 優勝が決まらず延々と試合が続くのは
最初の試合でAが勝つかBが勝つかで分かれる。回り方がABC,ACBの2つのパターンだけ
「ACBACB……ACBAA(最後にCに勝って優勝)
(ACB)をm回-AAと繋がる。
3m+2 (m≧1)回目で終了」
「BCABCA……ABCAA(最後にBに勝って優勝)
BC-(ABC)が(m-1)回-AAと繋がる。
3m+1(m≧1) 回目で終了」
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by smile-a-welcome | 2016-08-27 23:03 | 数学 | Comments(0)