2019年 09月 11日
東工大2015第5問≪もう一度解説≫
【解説】2016年6/27に解説してます。今回は、砕いて説明します。
条件より n は素因数分解すると素数の
1乗だけで、複数乗は持たない。
a,bはnの約数である。
a,bの最大公約数はG
a=a'G , b=b'G とおけて
a'とb'は互いに素である。
a' はaだけが持ってる素数
b' はbだけが持ってる素数
G はa,bに共通な素数
nの約数のため、これらは何れも
素数の複数乗は持たない。
(1)Lはa,bの最小公倍数だからL=a'b'G
f(a,b)=L/G=a'b'G/G=a'b'
a'G , b'G は n の約数
よって a' と b' は n の約数である。
a'とb'は互いに素であるから
a'とb'は n の中だけの素数を使い
同じ素数は持たないから
a'b' は素数の複数乗を持たない。
よって f(a,b)=a'b' は n の約数
(2) f(a,b)=b∴a'b'=b'G∴a'=G
aだけが持ってる素数a'と
a,bに共通な素数Gは、どちらかに
素数があれば等しくはならない。
等しくなるとしたら共に素数を持ってないとき
a'=G=1∴a=1
◆(2)の別解
a'=G から
∴a=a'G=a'^2
a'に素数があると素数の複数乗が出来るから不適
∴a'=G=1 ∴a=1
(3) S(f(a,b))=S(a'b')
a'とb'は互いに素であるから
S(a'b')=S(a')+S(b')
a'とgでは同じ素数は使えない。
使えばnの素数が複数乗になり不適。
a'とgは互いに素であるから
S(a)=S(a'G)=S(a')+S(G)
b'とGは互いに素であるから
S(b)=S(b'G)=S(b')+S(G)
∴S(f(a,b))+S(a)+S(b)
=S(a'b')+S(a'G)+S(b'G)
=S(a')+S(b')+S(a')+S(G)+S(b')+S(G)
=2{S(a')+S(b')+S(G)}
よって偶数である。