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ハイポサイクロイドⅩⅠ<2:1>軌跡が線分の証明_b0368745_03380227.jpg

<解説>
(Ⅰ) t = 0 のとき P=(1,0)
(Ⅱ) 0<t <π/2 のとき <左図>
定円の半径は1、動円Qの半径は1/2
点Pは(1,0)から出発して動円は
定円の内側を滑らないで回転する。
動径ORの回転の角を tとおくと ∠AOQ=∠AOR=t
弧AR=弧PR
半径が1/2倍だから角は2倍
∴∠PQR=2 t
△QOPにおいて
QO=QP
∴∠QOP=∠QPO
∠QOP+∠QPO=∠PQR=2 t
∴∠QOP= t =∠QOA
よって点Pはx軸上である。
(Ⅲ) t =π/2 のとき P=O
(Ⅳ) π/2<t<π のとき <右図>
∠AOQ =∠AOR=t
弧AR=弧POR
半径が1/2倍だから角は2倍
∴広い∠PQR=2 t
∴狭い∠PQR=2π-2 t
∴∠QOP=π- t
∴∠AOP=π
よって点Pはx軸上である。
(Ⅴ) t = πのとき P=(-1,0)
(Ⅵ) π<t≦2π ときはx軸に線対称に移せば
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)より 点Pはx軸上であることが解る。
よって点Pの軌跡は y=0 , -1≦x≦1

by smile-a-welcome | 2016-09-26 02:26 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅩ<6:1><2:1>_b0368745_20180067.jpg

<6:1>と<6:5>の動円の軌跡も一致する。
回転を逆向きにして回転の角を1:5にすると
点Pは常に一致する。
ハイポサイクロイドⅩ<6:1><2:1>_b0368745_20180685.jpg

ハイポサイクロイドⅩ<6:1><2:1>_b0368745_20181392.jpg

<2:1>と<2:1>を逆向きに回転させれば
動円の点Pは一致して軌跡は線分になる。
定円の半径を1、動円の半径を1/2として軌跡がx軸上の線分になることを証明せよ。
<一般に成り立つこと>
定円の半径をRとする。
2つの動円をO1,O2 半径をr1,r2とする。
2つの動円の軌跡の点P1,P2は(R,0)から始まるとする。r1+r2=R が成り立ち、2つの動円の動きが逆向きで 回転の角を r1:r2 にすると
2つの動円の軌跡の点は常に一致する。
by smile-a-welcome | 2016-09-25 20:02 | 数学 | Comments(0)


ハイポサイクロイドⅨ<7:2>と<7:5>で証明して下さい。_b0368745_21312945.jpg

<7:2>と<7:5>の軌跡が
同じであることを証明をして下さい。
<7:3>と<7:4>の軌跡が
同じであることを証明をして下さい。
<5:2>と<5:3>の証明はハイポサイクロイドⅦで証明してあります。
ハイポサイクロイドⅨ<7:2>と<7:5>で証明して下さい。_b0368745_23012711.jpg

<7:2>と<7:5>
ハイポサイクロイドⅨ<7:2>と<7:5>で証明して下さい。_b0368745_23012980.jpg

<7:3>と<7:4>



by smile-a-welcome | 2016-09-24 22:54 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅧ<5:2><5:3>式で証明_b0368745_12480907.jpg

<5:3>の軌跡は<5:2>の軌跡と同じである。これを証明する。
<5:2>の方程式は
(x,y)=1/5[3cosθ+2cos(3θ/2),3sinθ-2sin(3θ/2)] …①
<5:3>の方程式は
(x,y)=1/5[2cosθ'+3cos(2θ'/3),2sinθ'-3sin(2θ'/3)] …②
<5:2>の周期は4π(2回転で元に戻る)
<5:3>の周期は6π(3回転で元に戻る)
出発から元に戻るのを合わせるには回転を2:3にすると良いことが予想できる。移動の向きが逆であることも考慮してθ'= -3θ/2を②に代入する。
(x,y)=1/5[2cos(-3θ/2)+3cos(-θ),2sin(-3θ/2)-3sin(-θ)]
=1/5[2cos(3θ/2)+3cosθ,-2sin(3θ/2)+3sinθ]
=1/5[3cosθ+2cos(3θ/2) , 3sinθ-2sin(3θ/2)]
①と同じ式が導けた。



by smile-a-welcome | 2016-09-24 11:32 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅦ<5:2><5:3>の軌跡が一致する証明_b0368745_11252124.jpg

<解説>
定円の半径は1
動円Qの半径は2/5 軌跡の点をPとする。
動円Lの半径は3/5 軌跡の点をP'とする。
PとP'は(1,0)から出発する。
動円の回転は逆向きで回転角は2:3なので
∠QOA=2t,∠LOA=3t とおく。
弧AR=弧PR
半径が2/5倍ならば角は5/2倍
∴∠PQR=5t
また∠LOR=3t+2t=5t
∴∠PQR=∠LOR
またQP=OL=2/5
∴ベクトルQP=ベクトルOL …①
弧AM=弧P'M
半径が3/5倍ならば角は5/3倍
∴∠MLP'=5t
∴∠MOQ=∠MLP'
またOQ=LP'=3/5
∴ベクトルOQ=ベクトルLP' …②
①②より
ベクトルOQ+ベクトルQP=ベクトルOL+ベクトルLP'
∴ベクトルOP=ベクトルOP'
よって P=P'
<別解>へと続く


by smile-a-welcome | 2016-09-23 19:04 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅥ<5:2><5:3>の軌跡が同じなる理由が解りました。_b0368745_17081331.jpg

ハイポサイクロイドⅥ<5:2><5:3>の軌跡が同じなる理由が解りました。_b0368745_17081558.jpg

ハイポサイクロイドⅥ<5:2><5:3>の軌跡が同じなる理由が解りました。_b0368745_17081728.jpg

<解説>定円の半径は1です。
半径が2/5の動円は上に半径3/5の動円は逆方向に動きます。角の変化は2:3です。両方の動円の点Pは常に一致します。
図形でも証明出来ます。
式でも証明出来ます。
次回証明します。




by smile-a-welcome | 2016-09-22 20:07 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19033843.jpg

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19034033.jpg

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19034701.jpg

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19035434.jpg

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19035507.jpg

ハイポサイクロイドⅤ<5:2>と<5:3>は同じ図か?_b0368745_19035717.jpg

<5:3>の軌跡は<5:2>の軌跡と同じようである。
<5:2>の方程式は
(x,y)=1/5[3cosθ+2cos(3θ/2),3sinθ-2sin(3θ/2)]
<5:3>の方程式は
(x,y)=1/5[2cosθ+3cos(2θ/3),2sinθ-3sin(2θ/3)]
図に秘密があることが解りました。
<5:2>の周期は4π(2回転で元に戻る)
<5:3>の周期は6π(3回転で元に戻る)


by smile-a-welcome | 2016-09-22 18:47 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅣ<5:2>π/2回転で_b0368745_12244671.jpg

ⅡはⅠ図をπ/2 回転したものです。
これを利用して方程式を導きます。
ハイポサイクロイドⅣ<5:2>π/2回転で_b0368745_12405402.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>と同じ結果になった。

by smile-a-welcome | 2016-09-22 12:24 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅢ<5:2>y=xに対称を利用して_b0368745_12194704.jpg

Ⅰは求めやすいのでⅠの式を利用してⅡを求める。
ハイポサイクロイドⅢ<5:2>y=xに対称を利用して_b0368745_12360801.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>と同じ結果になった。
by smile-a-welcome | 2016-09-22 02:21 | 数学 | Comments(0)

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_22191221.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20285643.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20285730.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290049.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290224.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290368.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290590.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290714.jpg

ハイポサイクロイドⅡ<5:2>_b0368745_20290932.jpg

<解説>
半径1の定円の内側を半径2/5の円が滑らずに転がるときの1点Pの軌跡。(オレンジの線)
周期は4πつまり2周回って同じ動きを繰り返す。
定円Oは原点を中心
動円Qはθ=π/2のとき
中心はQ( 0 , 3/5 ) 点Pは( 0,1 )
∠AOP =∠AOR =θとする。
∠COQ=∠COR=αとおくと
θ=π/2+α∴α=θ-π/2
弧RCと弧RPは同じ長さである。
半径が 2/5倍であると角は 5/2 倍になる。
∴∠PQR = 5/2 α
∴∠SOR=3/2 α
QP〃OS
ベクトルQPのx軸の正の向きの成す角は
π/2 - (3/2) α=π/2 - (3/2 )(θ-π/2)
= 5π/4 - 3θ/2
ベクトル OP(x,y)=ベクトルOQ+ベクトルQP
ベクトルOQ=3/5( cosθ,sinθ)
ベクトルQP=2/5{ cos(5π/4 - 3θ/2 ) , sin(
5π/4 - 3θ/2 )}
=2/5{ cos(3θ/2 -5π/4) , -sin((3θ/2)-5π/4 ) } =2/5{ -cos(3θ/2 -π/4) , sin( 3θ/2 -π/4 ) }
∴(x,y)=3/5( cosθ,sinθ)+2/5{ -cos( 3θ/2 -π/4) , sin(3θ/2 -π/4 ) } ]


by smile-a-welcome | 2016-09-21 20:20 | 数学 | Comments(0)