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異なるn個を幾つかにグループ分け(3)_b0368745_05550429.jpg

A={1,2,3,…,n}をグループ分けする総数をP(n)とすると P(n)=Σ〈1≦k≦n〉S(n,k)
〈n=4で説明〉
{1,2,3,4}のグループ分けの総数P(4)は
{1,2,3,4}を
1つに分ける場合と
2つに分ける場合と
3つに分ける場合と
4つに分ける場合の総数である。
∴P(4)=S(4,1)+ S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)

問題(3)
n≧1のとき
P(n)=Σ〈0≦r≦n-1〉n-1Cr P(r)を証明せよ。
ただし P(0)=1 とする。
〈解説〉
分割のグループのうちnを含むものがk個の
要素からなれば、残りのグループ分けは
n-k 個の要素の集合のグループ分けになる。
nを含む k個の要素から成る集合は全部で
n-1Ck-1 個ある。
それらの1つを固定すれば、残りのn-kをグループ分けする仕方はP(n-k)である。
したがって
P(n)=Σ〈1≦k≦n〉n-1Ck-1 P(n-k)
=Σ〈1≦k≦n〉n-1Cn-k P(n-k)
r=n-k とおくと 1≦k≦nのとき n-1≧r≧0
∴P(n)=Σ〈0≦r≦n-1〉n-1Cr P(r)



by smile-a-welcome | 2017-04-30 05:53 | 数学 | Comments(0)

異なるn個を幾つかにグループ分け(2)_b0368745_04084186.jpg


前回の 問題(1)
S(n,2)、S(n,3)を求めよ。
〈解説〉
S(n,2)は、A={1,2,3,…,n}を2つにグループ分けする仕方の総数である。
先ず2つのグループに M,Nと名前を付ける。
{1,2,3,…,n} のn個の要素がMかNのどちらかに入るかは全て2通りずつ。全てがどちらか一方だけに
入る場合を除けば 2^n -2 通り。
実際は名前がないからグループ分けは半分
∴S(n,2)= 2^(n-1) -1

S(n,3)は、A={1,2,3,…,n}を3つのグループに分ける仕方の総数である。
3つのグループに L,M,Nと名前を付ける。
{1,2,3,…,n} のn個の要素がL,M,Nのどれかに入るかは全て3通りずつ。
3^n から全ての要素が2つのグループと1つのグループになる場合を除く。
L,M,Nの3つに分ける仕方は
3^n -(3C2) (2^n-2) - 3
=3^n -3{2^n-2) -3
=3^n -3・2^n +3
グループ名が無いときの場合の数は
L,M,Nの入れ替えの3! で割ると良いから
S(n,3)={3^(n-1)-2^n+1}/2

この様な問題を解くこつは
間違っても良いからどんどん突き進んで
答えを出すことです。
{1,2,3}を3つのグループに分ける仕方は1通りだから S(3,3)=1 を確かめれば良い。
S(n,3)={3^(n-1)-2^n+1}/2
にn=3を代入して
もしS(3,3)=1が成り立たなければもう一度じっくり考えるという方法です。
試験のときには一番下の数を代入して合っていれば先ずは正解と自信を持つことです。
正答の確率が100%にはなりませんが
限りなく100%に近づけることが出来ます。
少しの時間を充てて有効な確かめをすることにより正答率を高めます。普段の学習もこの様な確かめる方法を随所に入れて正しい感覚を養います。
時間の余裕があるときには
S(4,3)=6 も確かめると良いでしょう。





by smile-a-welcome | 2017-04-30 03:55 | 数学 | Comments(0)

異なるn個を幾つかにグループ分け(1)_b0368745_01390492.jpg

A={1,2,3,…,n}をk個のグループに
分ける仕方の個数を S(n,k) (n≧k≧1)とおく。
例えば
{1,2,3}が1つに分かれるのは1通り。
∴S(3,1)=1
{1,2,3}が2つに分かれるのは
1と23 , 13と2 ,12と3 の3通り。
∴S(3,2)=3
{1,2,3}が3つに分かれるのは1通り。
∴S(3,3)=1

同様にして
S(n,1)=1

問題(1)
S(n,2)、S(n,3)を求めよ。
【次回に説明】

問題(2)
S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)を証明せよ。
〈解説〉
A={1,2,3,…,n}を
k個にグループ分けする個数はS(n,k)
nを含むグループの分け方に注目すると
【{n}だけから成るとき】
k個のグループ分けから{n}を取り除けば
残りは{1,2,3,…,n-1}をk-1のグループ分けになっている。その個数はS(n-1,k-1)
【nを含むグループが n以外の要素も含んでいるとき】
そのグループ分けから nを取り除いたグループ分けは {1,2,3,…,n-1}を kのグループ分けになっている。その個数はS(n-1,k)
どのグループにnが入っているかによりk通りの可能性がある。この場合の総数は k S(n-1,k)
∴S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)


A={1,2,3,…,n}をグループ分けする総数をP(n)とすると
P(n)=Σ〈1≦k≦n〉S(n,k)


問題(3)
P(n)=Σ〈0≦r≦n-1〉n-1Cr P(r)を証明せよ。
【次々回に説明】


by smile-a-welcome | 2017-04-25 01:23 | 数学 | Comments(0)

A={1,2,3,4},B={a,b,c}のとき
S(4,3) 全射の一例は
1→a
2→a
3→b
4→c
f(A)=B

これから1→aを除けば
2→a
3→b
4→c
f(A - {1})=B
S(3,3)の一例になります。

4→cを除いた場合は
1→a
2→a
3→b
f(A - {4})=B - {c}
S(3,2)の一例になります。

「写像の全射(1)」の後半の続きです。
m≧n≧2のとき
写像と全射(2)〈漸化式を導く〉_b0368745_23164004.jpg

by smile-a-welcome | 2017-04-15 23:02 | 数学 | Comments(0)

写像と全射(1)〈個数の関係を調べる〉_b0368745_16404037.jpg

A={1,2,3} ,B={a,b} のとき
A→B の写像を考えます。
1,2,3はa,bのどちらか1つに写ります。
2×2×2=2^3=8 通りの写像があります。
このうち次の2通りは全射ではありません。
1,2,3がaだけに写る。
1,2,3がbだけに写る。
これ以外の6通りは全射です。
集合B全体に写れば全射です。
集合Bの1つの要素に写るもの2通りと
集合Bの2つの要素に写るもの6通りを合わせれば全ての写像の2^3=8通りになります。
S(m,n)を m≧n≧1で
集合Aの要素m個、集合Bの要素n個
の全射の場合の数と定義します。
上のことは
2 S(3,1)+S(3,2)=2^3 と表せます。
S(3,1)は3つが全て1つの要素に写る場合の数です。
S(3,1)=1, S(3,2)=6 です。

m=n=3の場合は
3C1 S(3,1)+3C2 S(3,2)+S(3,3)=3^3
∴ 3 S(3,1)+3 S(3,2)+S(3,3)=3^3
となります。
全ての写像を
Bの1つの要素だけに写る場合と
Bの2つの要素だけに写る場合と
Bの3つの要素に写る場合に分けています。

〈これから一般の場合で考えます〉
m≧n≧1で
集合Aの要素m個から集合Bの要素n個の写像fは全部で n×n×n×・・・・×n=n^m 通りです。
集合Aの要素m個、集合Bの要素n個の全射の数はS(m,n)です。
AからBの写像をf(A)の個数によって分ければ
m個が1個に写るのは nC1 S(m,1) 通り
m個が2個に写るのは nC2 S(m,2) 通り
・・・・
m個がk個に写るのは nCk S(m,k) 通り
・・・・
m個がn個に写るのは nCn S(m,n) 通り
Σ〈1≦k≦n〉nCk S(m,k)=n^m



by smile-a-welcome | 2017-04-13 16:07 | 数学 | Comments(0)

虚数単位iの入った式の解き方_b0368745_01105589.jpg

xが実数であるとき(iは虚数単位)
i(x-2i) ^4
が実数であるときのxを求めなさい。
<解説>
複素数Aが実数であるときの条件は
複素数Aが実数⇔Aバー=A
-i(x+2i) ^4 = i(x-2i) ^4
∴-(x+2i) ^4 = (x-2i) ^4
∴(x+2i) ^4 +(x-2i) ^4 =0 ・・・①
4乗の展開の係数は1,4,6,4,1
(x+m)^4=x^4+4m x^3+6m^2 x^2+4m^3 x+m^4
m=2i と m=-2i は mが奇数乗のとき符号が逆になるので
①は xの偶数乗だけが残る
∴2{x^4+6(2i)^2 x^2+(2i)^4}=0
∴x^4 -24x^2 +16=0
∴x^4 -8x^2 +16 -16x^2=0
∴(x^2 -4)^2 - (4x)^2=0
∴(x^2 -4 +4x)(x^2 -4 -4x)=0
∴(x^2 +4x -4)(x^2 -4x -4)=0
∴x= -2±2√2, 2±2√2
by smile-a-welcome | 2017-04-13 00:58 | 数学 | Comments(0)

「組み合わせ」の勉強

「組み合わせ」の勉強_b0368745_00004142.jpg

{1,2,3,4,5}から
偶数個取り出す仕方と奇数個取り出す仕方が同じ個数あるという証明を
柔らかな考えでします。つまり2項定理ではない考えで解きます。
<考え方>
例えば2,3の取り出し方には1がないから
1を加えて1,2,3に対応させます。
1,4,5の取り出し方には1を取り除いて
4,5に対応させます。
1が有るときには1を取り除いたものに対応させる。1が無いときには1を加えたものに対応させる。
1が外れるか1が加わるかで
偶数個⇔奇数個 が他方に切り替わります。
偶数個の取り出し方と奇数個の取り出し方が全て1:1に対応します。
集合の個数が一般の自然数nでもこの考え方は成立します。

Φ⇔1
1,2⇔2
2,3⇔1,2,3
1,2,3,4⇔2,3,4
2,3,4,5⇔1,2,3,4,5

{1,2,3,4,5}から1個ずつ取る取らないを○×で表せば
全部で2^5=32ある。
偶数個、奇数個の取り出し方は
半分ずつの16ずつある。
全部書き出せば1:1に対応してることが理解出来ます。全射で単射である。

<普通の証明>
(1+x)^n=Σ (n_C_k) x^k (k=0~n)
にX= -1 を代入して導きます。
by smile-a-welcome | 2017-04-12 23:34 | 数学 | Comments(0)