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空間図形(立方体)の問題(3)_b0368745_12450496.jpg

空間図形(立方体)の問題(3)_b0368745_06205186.jpg

点X ∈線分AP ⊂平面AEGC
点X ∈線分WV ⊂平面CFED
∴点X ∈ 平面AEGC∩平面CFED
∴点X ∈線分CE
Xは APとWVの交点だから
平面AEGC上にあり、また平面CFED上にもある。
2平面の交線はCEだから
CEと、APの交点が点Xである。
EX:XC=AE:CP=5:4
点Xの高さは、(5/9)×5=
よって4角錐の体積は
(1/3)×5×5×(5/9)×5=625/27(cm^3)
WVとAPは交線ですから4点A,W,P,Vは同一平面上にあります。
平面AWPV上の2直線は交わるか平行
平面BFEA∥平面CGHD
∴WA∥PV
ベクトルWA=5/4(ベクトルPV)
よって FW=0で W=F です。
正しい図は
空間図形(立方体)の問題(3)_b0368745_05554866.jpg

by smile-a-welcome | 2018-05-30 12:44 | 数学 | Comments(0)

空間図形(立方体)の問題(2)_b0368745_12282615.jpg

点U ∈線分AP ⊂平面AEGC
点U ∈線分ST ⊂平面BFHD
∴点U ∈ 平面AEGC∩平面BFHD
∴点U ∈線分LM
APとSTの交点Uは、APとLMの交点です。
平面AEGCで考えれば、L,MがそれぞれAC,EGの中点だから、点S,Tがどのように移動しても、交点UはAPの中点です。
四角錘の高さは、3cmです。
求める体積は、(1/3)×5×5×3=25(cm^3)
空間図形(立方体)の問題(2)_b0368745_12320751.jpg



by smile-a-welcome | 2018-05-30 12:28 | 数学 | Comments(0)

空間図形(立方体) の問題(1)_b0368745_11410029.jpg

空間図形(立方体) の問題(1)_b0368745_11410059.jpg

線分APと線分QRの交点をNとする。
線分APは平面AEGC上に
線分QRは平面BFHD上にある。
これら2平面の交線を図のようにLMとすると
Nは交線LM上にある。
よって線分APと線分LMの交点がNである。
平面AEGCで考えればAPの中点がNである。
次に、直線QAと直線PRについて考えます。
これら2直線は、平面AQPR上にあります。
ある平面内の2直線は、交わるか平行かのどちらかです。
平面ABFEと平面CGHDは平行
∴QA∥PR
ベクトルQA=ベクトルPR
RはPより高さが1つ上ってHR=2
空間図形(立方体) の問題(1)_b0368745_11410124.jpg

点N∈線分AP⊂平面AEGC
点N∈線分QR⊂平面BFHD
∴点N ∈ 平面AEGC∩平面BFHD
∴点N ∈線分LM
よって点Nは、これら2平面の交線上にある。
線分を含む考え易い2平面を探してきて、その交線を調べるのが解りやすいやり方。

by smile-a-welcome | 2018-05-30 11:40 | 数学 | Comments(0)

逆さの円錐と半球

逆さの円錐と半球_b0368745_15365564.jpg
逆さの円錐と半球と円柱を真横から見た図です。半径は全てr、円錐と円柱の高さはrです。底面から高さhの断面が上の図です。断面は全て円です。
円錐の断面積は、(h/r)^2  × π r^2= π h^2
半球の断面積は、π ( r^2 - h^2 )
円柱の断面積は、πr^2
円錐の断面積と半球の断面積の和は
常に円柱の断面積の πr^2 に等しい。
このことは、逆さの円錐が、円柱と半球の隙間を埋めていることを示している。円錐の体積と隙間の体積は同じである。
実際円柱の体積の π r^3
から半球の体積 2πr^3 /3 を引くと
π r^3 /3 であるが円錐の体積に等しい。


by smile-a-welcome | 2018-05-28 15:19 | 数学 | Comments(0)

高校数学<因数分解7>解答

高校数学<因数分解7>解答_b0368745_10065072.jpg

問題を解くときには、ある方針をもって解きます。
上の因数分解で、2つずつの()に分けるときには、2次と1次が同じ形になるように展開します。同じなった形を M=x^2-x とおけば解り易いですね。

下の式の因数分解の2行目はaについて整頓しています。よって(b-c)^2 a は直ぐには展開しません。a の1次の項に入るからです。

下の因数分解の元の式に
b=-aを代入して計算すると0になります。
よって a+b を因数に持ちます。
元の式は、a,b,c の対称式ですから
b+c,c+a も因数に持ちます。
元の式は3次式ですから
=k(a+b)(b+c)(b+a) とおける
a^2の係数を比較してk=1
こんな風に解いても良いです。



by smile-a-welcome | 2018-05-26 09:34 | 数学 | Comments(0)

双曲線と双曲線関数Ⅲ(媒介変数表示)_b0368745_07140784.jpg
双曲線と双曲線関数Ⅲ(媒介変数表示)_b0368745_19535789.png

双曲線と双曲線関数Ⅲ(媒介変数表示)_b0368745_08201024.jpg
点Pの接線の方程式は
px - qy = 1
点Pの法線の方程式は
qx + py = 2pq
点Pの接線と法線のy軸との交点をそれぞれQ,Rとすると
Q(0,-1/q) , R(0,2q)
PQとPRの傾きはそれぞれ P/q ,-q/p
積が -1だから PQ⊥PR
焦点の1つはF(√2,0)
FQとFRの傾きはそれぞれ 1/(√2 q), -√2 q
積が -1だからFQ⊥FR
よって点Pと点Fは、線分QRを直径とする
円周上の点である。



by smile-a-welcome | 2018-05-24 05:16 | 数学 | Comments(0)