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算数オリンピック<20>アルゴ・ゲーム_b0368745_02072817.jpg
いま、カードをルール通りに並べ終わって図のようになり、黒の9のカードだけが表になっています。
   (ア)、(イ)、(ウ)、(エ)のカードの数はそれぞれいくつですか。
算数オリンピック<20>アルゴ・ゲーム_b0368745_02021709.jpg


by smile-a-welcome | 2019-03-31 01:58 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<19>並び方_b0368745_01014917.jpg

[問題]   
身長がみな異なる子供がいます。
この6人の子供が次の条件で1列に並びます。

条件1.  1番身長の高い子供は端には並べない。
条件2.  1番身長の高い子供から左へ順に
             身長が低くなるように並ぶ。
条件3.  1番身長の高い子供から右へ順に
             身長が低くなるよう並ぶ。
さて、以上のすべての条件に合う並び方は全部で何通りありますか。
[解答]背の小さい子からA,B,C,D,E,Fで表します。
先ず背の一番高いFを立たせます。
残りのA~Eは誰もFの右か左の2通りです。
残りの全員が右と左は除きます。
例えば、A,Dが左でB,C,Eが右とします。
するとならび順は、A,D,F,E,C,B と1通りに決まります。
2^5-2=32-2=30
答えは 30通り
考え方には様々な考え方があります。色々と考えて明確な考えを探します。そして検証します。正しいと思い込んではいけません。
慎重に間違いがないか確かめます。
by smile-a-welcome | 2019-03-31 01:01 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_11284411.jpg
(A,B,Cは、それぞれ各辺を二等分する点です。)
[問題] たて、横、高さが、それぞれ1cmの小さい立方体を27個使って、右の図のような大きい立方体を作りました。
   この大きい立方体をA,B,Cの3つの点を通るような平面で切断したとき、次の問いに答えなさい。
   ただし下の図のように小さい立方体の頂点、辺、面が切断面とふれているだけのものは、切断されていないものとして考えなさい。
算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_02573572.jpg

(問い1)大きい立方体の切断面はどんな形ですか。形の名前を書きなさい。
(問い2)この平面によって、小さい立方体は全部で何個切断されているでしょうか。

<ヒント>手掛り
(1)平面上の2点を結んだ線分は平面上にあります。
(2)線分BCに平行で点Aを通る直線は平面ABCに含まれます。
線分BAに平行な点Cを通る直線は平面ABCに含まれます。
[解答]
算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_11291644.jpg
線分BAに対し平行な線の平行な線分CDは平行です。
BA〃CD , BC〃AE〃DF
算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_11292470.jpg
点D,E,Fは平面ABC上の点である。
下図は矢印の所でたてに切った平面である。
算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_19254849.jpg
算数オリンピック<18>平面で切断_b0368745_07372936.jpg
答えは 正六角形 19個
by smile-a-welcome | 2019-03-30 02:57 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<17>立方体の内部_b0368745_02524422.jpg

上の図のように、一辺の長さが4cmの立方体があります。直線BGと直線DEの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。
   立方体の内部に点Pがあり、点Pが動ける範囲は、いちばん近い頂点よりも、立方体の中心への距離の方が近い部分と、両方への距離が同じ部分です。
   このとき、点Pが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。
(1) 点Pが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。
(2) 点Pが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。

<ヒント1>立方体を豆腐を半分に切るように縦、横、水平に切ると切断面はすべて中心を通ります。一辺の長さが半分の8つの立方体に分けて、その内の1つを調べれば、他は同じ結果になります。そこで中心をOとして点Bを含む小さな立方体だけで考えます。
<ヒント2>点Bと点Oから等距離の点の集まりは線分BOの中点Mを通りBOに垂直な平面です。また平面上の2点を結んだ線分は、その平面に含まれます。このことが解れば導きやすくなります。
1~7の数字が付いた点はO,Bから等距離で探しやすい点です。すべての点は点Mを通り、OBに垂直な平面上にあります。
算数オリンピック<17>立方体の内部_b0368745_08274203.jpg
OCでも同様に考えます。
算数オリンピック<17>立方体の内部_b0368745_08274863.jpg
8つの小さな立方体全部で考えれば下図のようになります。
算数オリンピック<17>立方体の内部_b0368745_08084941.jpg

[解答](1)正六角形は切り分けた立方体の数と同じで8、正方形はもとの立方体の面の数で6。すなわち14面になる。答え 14面
(2)8つに分けたBを含む立方体をO,Bが入れ替わるように回転するともとの分けた形と一致する。8つとも半分だから求める体積はもとの立方体の半分。
4×4×4÷2=32 答え 32c㎡
by smile-a-welcome | 2019-03-29 02:52 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<14>雨水の問題_b0368745_00194512.jpg
雨がザーザーと同じようにま上からふっています。(図1)のような直方体の入れものをおくと、1時間で雨水がちょうどいっぱいになりました。
下のア~オのそれぞれの入れものが雨水でちょうどいっぱいになるにはどれだけの時間がかかりますか?
<ヒント>雨は一様にふってきますので、どんな形をしていても1時間に10cmたまります。四角柱、六角柱、円柱など柱になっていればどんなのでも10cmたまります。斜線部の受け口とたまる所が違う形をしていれば単純ではありません。
<追加問題>(カ)円錐です。雨水でちょうどいっぱいになるにはどれだけの時間がかかりますか?
算数オリンピック<14>雨水の問題_b0368745_01483750.jpg

(ウ)は、底から10cmまでが倍の2時間掛かります。20cmまでは3時間。(エ)は、底から10cmまでが半分の30分掛かります。20cmまでは1.5時間。(カ)円錐は円柱の1/3の容積、円柱にすれば5cm分の深さ
答えは (ア)1時間 (イ)3時間 (ウ)3時間 (エ)1.5時間 (オ)2時間 (カ)0.5時間
by smile-a-welcome | 2019-03-28 14:31 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<13>角度を求める問題_b0368745_13493407.jpg

上の図で、三角形ADCは、辺ACと辺ADの長さが等しい直角二等辺三角形です。? の角度を求めなさい。
<ヒント>ADを一辺とする正三角形を左上側に作図します
by smile-a-welcome | 2019-03-28 13:49 | 数学 | Comments(0)

広中杯<1>円の接線を引く作図問題

中心の分からない円Cの周上に,異なる2点P,Qがあり,線分PQはCの直径ではないことが分かっている。このとき,コンパスを2回,定木を1回用いるだけで,Pにおける円Cの接線を引くことが可能である。その手順を述べ,その手順で引かれる直線がCの接線になっていることを証明せよ。
広中杯<1>円の接線を引く作図問題_b0368745_00092225.jpg

広中杯<1>円の接線を引く作図問題_b0368745_00084739.jpg


by smile-a-welcome | 2019-03-28 00:06 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<3>面積

[問題]
算数オリンピック<3>面積(解答)_b0368745_02595962.png
[解答]
算数オリンピック<3>面積(解答)_b0368745_03000070.jpg

⑤=3×2=6
∴2(① + ② + ③ + ④) + 6=100
∴2(① + ② + ③ + ④)=94
∴① + ② + ③ + ④=47
∴① + ② + ③ + ④ + ⑤=53

答え  53c㎡
by smile-a-welcome | 2019-03-27 02:58 | 数学 | Comments(0)