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算数オリンピック<46-1>おうぎ形_b0368745_14183240.jpg
上図のような、半径が20cm、中心角が144゜のおうぎ形があります。
    点エ、オ、カ、キ、ク、ケ、コは、おうぎ形の弧イウ(曲線の部分イウ)を8等分する点です。このとき青い部分の面積和を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。
<考え方>
算数オリンピック<46-1>おうぎ形_b0368745_16122582.jpg
AからBの面積を引きます。
   算数オリンピック<45-3>の
考えの素を使います。
算数オリンピック<46-1>おうぎ形_b0368745_16503118.jpg

by smile-a-welcome | 2019-04-30 21:08 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<45-3>考えの素_b0368745_12514767.jpg

算数オリンピック<45>の素になる考えです。
A=Bのとき、どの様に重ねても、重なっていない面積は等しい。A,Bはどんな形でもよい。
理由は、
A=Bの両辺から
同じ数(緑)を引いても両辺(青と黄)は同じである。
by smile-a-welcome | 2019-04-28 04:47 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<45-2>硬貨を使う_b0368745_00092771.jpg
<問題>  100円、50円、10円、5円硬貨がそれぞれ1枚以上5枚以下あります。    合計金額は硬貨の枚数のちょうど30倍です。    もし、50円硬貨を全部使うと残りの合計金額は残りの硬貨の枚数のちょうど20倍になります。
    4種類の硬貨はそれぞれ何枚ずつありますか。

<算数らしく解く>
問題文より合計金額が二通りに表せます。
A=30×(100,50,10,5円の枚数)
B=50×(50円の枚数)+20×(100,10,5円の枚数)
この二つは等しい。
Aを50円とそれ以外に分けます。
A=30×(50円の枚数)+30×(100,10,5円の枚数)
B=50×(50円の枚数)+20×(100,10,5円の枚数)
20×(50円の枚数)と10×(100,10,5円の枚数)は同じことが解ります。
20×(50円の枚数)=10×(100,10,5円の枚数)
∴2×(50円の枚数)=(100,10,5円の枚数)
調べる手掛かりが掴めました。
(100,10,5円の枚数 , 50円の枚数)=(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)
まだ答えではありません。問題文をよく読み返して、すべてが成り立てば答です。
あと調べることは
合計金額P=30×(100,50,10,5円の枚数)
50円硬貨を除いた金額Q=20×(100,10,5円の枚数) です。
Qが合えばPは合います。
Qは10の倍数だから、5円は偶数枚(2か4)です。
少ない枚数で100円1枚,10円1枚,5円2枚の120円
∴Q≧120
(4,2)のとき Q=20×4=80(不適)
(6,3)のとき Q=20×6=120
120円は、100円1枚、10円1枚、5円2枚 だけ(不適)
(8,4)のとき Q=20×8=160
160円は、
100円1枚、10円4枚、5円4枚(9枚になり不適)
100円1枚、10円5枚、5円2枚(適する)
(10,5)のとき Q=20×10=200
Q=200より100円は1枚 (100円が2枚ならばQ>200)
100円は1枚、10円は5枚、5円は4枚 のとき
Q=170<200 より不適

答えは 100円1枚、50円4枚、10円5枚、5円2枚 の1通り
by smile-a-welcome | 2019-04-26 12:12 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<45-1>硬貨を使う_b0368745_22231947.jpg

<問題>  100円、50円、10円、5円硬貨がそれぞれ1枚以上5枚以下あります。
    合計金額は硬貨の枚数のちょうど30倍です。
    もし、50円硬貨を全部使うと残りの合計金額は残りの硬貨の枚数のちょうど20倍になります。
    4種類の硬貨はそれぞれ何枚ずつありますか。
<考え方>最後は調べるにしても、問題から解ることは何でも使って、調べるのを簡単にしたい。
<文字を使わないで解くと>考え方は難しくなる。
今回は、それぞれの枚数を文字でおいて解くことによって、考え方を理解しようと思います。
算数オリンピック<45-1>硬貨を使う_b0368745_12085314.jpg

by smile-a-welcome | 2019-04-25 22:22 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<44>三角形と60゜_b0368745_12524497.jpg

    AB=11cm , AC=9cmの三角形ABCがあります。
まず、辺BC上に、角BHA=90゜となるような点Hをとります。
   次に、辺BC上に、角BAD=60゜となるような点DをHとCの間にとります。すると、角DACの大きさは角HADの大きさの2倍になったそうです。
   このとき、BHの長さはCHの長さの何倍でしょうか。
算数オリンピック<44>三角形と60゜_b0368745_12302254.jpg
算数オリンピック<44>三角形と60゜_b0368745_12302832.jpg

by smile-a-welcome | 2019-04-25 20:53 | 数学 | Comments(0)

∫ 1/sinx dxを求めると...

∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_22164158.jpg
∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_13185591.jpg
∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_13190652.jpg
置換積分のやり方が違うと違う式になります。
∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_00023582.jpg
上の式を証明します。
∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_00062919.jpg

∫ 1/cosx dx も次の二通りの方法があります。
(1) t=sinx (2) t=tan(x/2)
参考までに
∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_00065171.jpg

∫ 1/sinx dxを求めると..._b0368745_00070056.jpg

by smile-a-welcome | 2019-04-23 22:09 | 数学 | Comments(0)

算数オリンピック<39-2>問題から学ぶ_b0368745_19510806.jpg
算数オリンピック<39-1>で思うこと
     問題だけ見て良い考えが浮かばないのは、大事なことを疎かにしています。先ずは、整数n=1,2,3を代入します。良い考えを浮かばせるのはそれから後のことです。整数n=1,2,3のときを調べることもしないで「解りません」は、やるべきことをしてないと思います。「先生、私は整数n=1,2,3のときを調べなくとも解りました」と云う人もいるでしょう。でもそれは、過去の経験から、問題を見ただけで考えが思い浮かんでいるのだと思います。
    この問題のように、n=1,2,3のときを調べながら考えを浮かべることはよくあります。大学受験問題で問題の意味すら解らないときでも、試験中に、問題を簡単なものに作り変えます。(n次を2次に変えたりとか)それを解いている内に、元の問題の解き方が浮かんできます。
     この問題に戻って、先ず下3桁に限って9が出てこない整数を調べます。4桁以上に9が残ったときには、下3桁を動かさないで4桁以上を変化させます。(この問題ではそこまではやらなくとも答えは出ました。)
     複雑に見えることでも、考えを単純化することで解決することは、よくあります。解ったことを箇条書きにすると段々考えが整理できて、それまで解らなかったことも解るようになります。



by smile-a-welcome | 2019-04-22 19:49 | 数学 | Comments(0)